5.1 Princíp činnosti jadrového reaktora

Tepelné neutróny štiepia jadrá 235U, pričom sa uvoľňuje energia a rýchle neutróny. Produkty štiepenia odovzdávajú svoju kinetickú energiu prostrediu, čím rastie jeho teplota. Rýchle neutróny vnikajú do moderátora, tu sa spomalia a ako tepelné sa vracajú späť do paliva, aby tam vyvolali ďalšie štiepenie jadier 235U. Takto slúžia palivové články ako zdroj tepla a rýchlych neutrónov, a moderátor ako zdroj tepelných neutrónov. Reťazovú reakciu štiepenia charakterizuje parameter aktívnej zóny keff -efektívny multiplikačný koeficient, ktorý podrobne rozoberieme v ďalšej časti tejto kapitoly. Hodnotu keff môžeme ovplyvňovať zmenou obsahu absorbátorov v aktívnej zóne, načo nám slúžia regulačné tyče. Riadime tak reťazovú reakciu štiepenia v aktívnej zóne. Materiál, ktorý obsahujú palivové články sa nazýva jadrovým palivom. Pre tepelné reaktory sa používa hlavne urán ako jadrové palivo v rôznych formách, ako sú :kovová, oxidová, nitridová a karbidová. Ako obálka palivových prútikov sa používajú materiály ktoré veľmi slabo pohlcujú tepelné neutróny a sú dostatočne odolné voči účinkom radiačného poškodenia, ako aj proti chemickej agresivite chladiva.V tepelných reaktoroch sú to zliatiny hliníka a horčíka ako aj zliatiny zirkónu s nióbom. Chladivo ktoré sa používa v tepelných reaktoroch môže byť :

a) plynné - oxid uhličitý, hélium, vodná para

b) kvapalné - ľahká voda, ťažká voda, organické látky

Moderátor je látka ktorá účinne spomaľuje neutróny. Moderátory bývajú:

a) tuhé - grafit, berýlium, oxid berýlia

b) kvapalné - ľahká voda, ťažká voda

5.2 Multiplikačný koeficient

Prostredie v ktorom budeme vyšetrovať multiplikačný koeficient, je veľké, takže únik neutrónov z tohoto prostredia je zanedbateľne malý. Prostredie tvorí kombinácia moderátora a štiepneho materiálu.

Bez predbežného skúmania uvažujme, že N0 rýchlych neutrónov je pohltených v štiepnom materiáli. Pretože energia týchto neutrónov je vyššia ako je prah štiepenia uránu 238U, časť týchto neutrónov vyvolá štiepenie jadiar 238U, čím sa zväčší počet rýchlych neutrónov e-krát. "e " nazývame multiplikačný koeficient rozmnoženia na rýchlych neutrónoch a podľa definície predstavuje : pomer počtu rýchlych neutrónov vznikajúcich v dôsledku štiepenia 238U a 235U k počtu rýchlych neutrónov vznikajúcich v dôsledku štiepenia 235U. Ak štiepnym materiálom je prírodný urán, potom e=1.03, čo je jeho maximálna hodnota. Pre čistý 235U sa e =1. Teda po absorbcii N0 rýchlych neutrónov v štiepnom materiáli máme celkovo N0.e nových rýchlych neutrónov. Takýto počet neutrónov začne spomaľovanie. K znižovaniu energie neutrónov dochádza v dôsledku ich zrážok s jadrami moderátora. V procese spomaľovania sa zníži energia neutrónov z E0=2MeV (stredná energia okamžitých neutrónov vznikajúcich pri štiepení) na Et=0.0253 eV, čo je energia tepelného pohybu atómov daného prostredia pri teplote 20oC. Nie všetky neutróny, ktoré začali spomaľovanie sa však stanú tepelnými, pretože ich určitú časť pohltia jadrá 238U v rezonančnej oblasti (1 eV až 10 keV).Takto absorbované neutróny nemôžu vyvolať štiepenie jadier 238U preto, že ich energia je menšia ako prah štiepenia 238U (1.1 MeV). Z uvedeného dôvodu sa absorbcia neutrónov jadrami 238U v rezonančnej oblasti nepriaznivo prejaví na bilancii neutrónov. Úbytok neutrónov v procese spomaľovania charakterizuje pravdepodobnosť úniku rezonančnému zachyteniu p.

Pravdepodobnosť úniku rezonančnému zachyteniu je daná pomerom počtu neutrónov, ktoré dosiahli tepelnú oblasť k počtu neutrónov, ktoré začali spomaľovanie. Pravdepodobnosť úniku rezonančnému zachyteniu má svoju najväčšiu hodnotu tam, kde je nulová koncentrácia 238U, t.j. v čistom 235U. S rastom koncentrácie 238U klesá postupne jej hodnota.
 
 

Obr.5.1 Bilancia neutrónov v aktívnej zóne.

V našom prípade spomaľovanie začalo N0.erýchlych neutrónov tepelnú oblasť dosiahlo iba N0.e.p neutrónov. Preto, že naše prostredie je nekonečne veľké, budú všetky neutróny, ktoré sa stali tepelnými, absorbované materiálmi aktívnej zóny. To znamená, že časť tepelných neutrónov bude absorbovaná štiepnym materiálom, časť moderátorom a ostatné konštrukčnými materiálmi. Nás zaujíma, aká časť týchto neutrónov bude absorbovaná jadrami 235U, lebo len tak určíme aké množstvo nových neutrónov vznikne v dôsledku štiepenia ťažkých jadier v štiepnom prostredí.

Podiel neutrónov absorbovaných jadrami 235U vyjadruje koeficent tepelného využitia neutrónov f. Tento koeficient je definovaný ako pomer počtu tepelných neutrónov absorbovaných jadrami 235U k celkovému počtu absorbovaných tepelných neutrónov. Potom z celkového množstva tepelných neutrónov N0.e .p je jadrami 235U absorbovaných N0.e .p.f neutrónov.

Nie všetky neutróny absorbované jadrami 235U spôsobia ich štiepenia, lebo časť týchto neutrónov je zachytená radiačne, v dôsledku čoho vznikne 236U a zvyšok absorbovaných neutrónov vyvolá štiepenie jadier 235U. Vieme, že mikroskopický účinný prierez absorpcie sa v 235U sa rovná súčtu mikroskopických účinných prierezov radiačného zachytenia sr a štiepenia sf. Pravdepodobnosť, s akou nastane štiepenie 235U pri jednom akte záchytu tepelného neutrónu týmto jadrom, je daná pomerom mikroskopického účinného prierezu štiepenia sf k mikroskopickému účinnému prierezu absorpcie sa. Pravdepodobnosť štiepenia môžeme vyjadriť aj ako pomer príslušných makroskopických účinných prierezov.

V dôsledku absorpcie N0.e .p.f tepelných neutrónov jadrami 235U nastane N0.e.p.f. štiepení. V každom akte štiepenia 235U vznikne v priemere nf nových rýchlych neutrónov s energiou 2 MeV.

Ak teraz vynásobíme množstvo štiepení vyvolaných tepelnými neutrónmi, stredným počtom okamžitých neutrónov vznikajúcich v jednom akte štiepenia, dostaneme množstvo rýchlych neutrónov nového pokolenia N0.e .p.f..nf. Súčin pravdepodobností štiepenia  a stredného počtu okamžitých neutrónov na jedno štiepenie nf nazývame regeneračným koeficientom h . Teda :

h = nf .  (5.1)

                                                                                  (5.2)

                                                                                         (5.3)

Vzťah 5.3 vyjadruje multiplikačný koeficient v nekonečne veľkej sústave, z ktorej nie je možný únik neutrónov, preto ho nazývame multiplikačným koeficientom pre nekonečne veľké prostredie a označujeme ho .

Zo sústavy konečných rozmerov existuje únik tak spomaľujúcich sa, ako aj tepelných neutrónov. Označíme Ps pravdepodobnosť, že neutróny neuniknú zo sústavy konečných rozmerov v procese spomaľovania a Pf pravdepodobnosť, že neutróny neunikú zo sústavy konečných rozmerov v procese difúzie. Súčin obidvoch pravdepodobností určuje pravdepodobnosť, že neutróny neuniknú zo sústavy, ktorú označujeme P, potom

keff = . P                                                                                             (5.5)

5.3 Difúzia neutrónov

Základnou úlohou teórie reaktorov je určenie rozloženia hustoty neutrónov n(), alebo hustoty toku neutrónov  v aktívnej zóne reaktora. Táto úloha je neľahká, ak uvážíme, že neutróny v tomto prostredí vznikajú ako rýchle, spomaľujú sa a sú absorbované, pričom časť neutrónov z priestoru aktívnej zóny uniká. So zmenou energie neutrónov sa menia ich účinné prierezy interakcie s materiálmi aktívnej zóny. Rozloženie hustoty neutrónov n(), alebo hustoty toku neutrónov  určujeme pri formulovaní určitých zjednodušení z difúznej teórie. Pohyb neutrónov je vo vyšetrovanom prostredí chaotický, podobne ako pohyb molekúl plynu. Rozloženie hustoty molekúl plynu v prostredí je opísané Boltzmannovou diferenciálnou rovnicou difúzie. Čo nás oprávňuje predpokladať, že neutróny prostredím difundujú? Budeme uvažovať izotropné prostredie, ktoré je charakterizované makroskopickým účinným prierezom . Na obr.5.2 je v mieste 1 hustota neutrónov , v mieste 2 je hustota neutrónov , kde . Potom v jednotkovom objeme v mieste 1 je za jednotku času rozptýlených  neutrónov, tieto sa po rozptyle z tohoto miesta šíria všetkymi smermi s rovnakou pravdepodobnosťou, t.j. určitá ich časť sa dostane aj do miesta 2, čím prispeje k hustote neutrónov v tomto mieste. Podobne v mieste 2 sa v jednotke objemu za jednotku času rozptýli  neutrónov, časť sa ich podieľa na hustote neutrónov v mieste 1. Vieme, že , to znamená, že z miesta 1 sa viac rozptýlených neutrónov vzďaluje ako z miesta 2, teda viac neutrónov z miesta 1 sa dostane do miesta 2 a naopak. Teda z miesta, kde je väčšia koncentrácia neutrónov sa neuróny šíria do miest, kde je ich koncentrácia nižšia.
 
 

Obr.5.2 Difúzia neutrónov.

5.4 Difúzna rovnica

Základom každej teórie jadrových reaktorov je zákon zachovania, alebo rovnováhy neutrónov. Podľa tohto zákona je prírastok počtu neutrónov za jednotku času v jednotkovom objeme rovný počtu neutrónov tam vznikajúcich, zmenšený o počet neutrónov unikajúcich a zachytených v tomto objeme.

Rýchlosť zmeny hustoty neutrónov  môžeme na základe uvedeného vyjadriť takto :

vznik - únik - záchyt =                                                                          (5.6)

kde  je rýchlosť zmeny hustoty neutrónov.

Ak je sústava v rovnováhe, čo nazývame stacionárnym stavom, alebo kritickým stavom, potom sa .

V stacionárnom stave napísaná rovnica rovnováhy neutrónov v aktívnej zóne reaktora bude mať tvar :

Konkretizujme teraz jednotlivé slovne vyjadrené členy v rovnici (5.6). V objemovej jednotke v mieste  sa smerom  pohybuje n neutrónov rýchlosťou . Nájdime, aké množstvo týchto neutrónov sa zachytí v jednotke objemu za jednotku času , ak poznáme makroskopický účinný prierez absorpcie . Počet zachytených neutrónov sa bude rovnať súčinu makroskopického účinného prierezu absorpcie a hustoty toku neutrónov. Teda v jednotke objemu sa každú sekundu zachytí  neutrónov s rýchlosťou v. Keď poznáme množstvo zachytených neutrónov v jednotke objemu, z definície multiplikašného koeficientu určíme množstvo vznikajúcich neutrónov v tomto objeme : . Pre konečné prostredie, kde existuje únik neutrónov, je potrebné posledný súčin vynásobiť pravdepodobnosťou, že neutróny neuniknú zo sústavy v procese spomaľovania :

vznik =                                                                                      (5.7)

vznik(source) = S =  +                                                            (5.8)

kde  je množstvo neutrónov pochádzajúcich od vonkajších zdrojov.

Posledný člen rovnice (5.6) - únik neutrónov je úmerný poklesu divergencie gradientu , konštantou úmernosti je difúzny koeficient D,

t.j. únik neutrónov = - D . div (grad ) = -D . . Potom diferenciálna rovnica difúzie vyjadrujúca rýchlosť zmeny hustoty neutrónov bude mať tvar :

                                                                (5.9)

Vonkajšie zdroje neutrónov neuvažujeme, čiže .

Treba si uvedomiť, že rovnica (5.9) je zapísaná pre neutróny s jednou a tou istou energiou,v homogénnom prostredí je zmena hustoty neutrónov pozvolná a rozptyl neutrónov je guľovo symetrický. Ak uvedené podmienky budú splnené len čiastočne potom rovnica (5.9) nebude presne popisovať zmenu hustoty neutrónov vo vyšetrovanom prostredí. V stacionárnom stave bude mať rovnica difúzie tvar :

                                                              (5.10)

                                                                                     (5.11)

                                                                                             (5.12)

Riešením diferenciálnej rovnice difúzie dostaneme všeobecné riešenie rozloženia hustoty toku neutrónov. Aby sme mohli určiť jednoznačné riešenie rovnice (5.9) musíme poznať hodnoty integračných konštánt, ktoré vystupujú vo všeobecnom riešení. Na určenie týchto konštánt potrebujeme obmedziť riešenie diferenciálnej rovnice difúzie pomocou okrajových podmienok. Ich formuláciu určuje povaha skúmaného fyzikálneho deja. Počet okrajových podmienok musí stačiť na určenie jednoznačného riešenia. Niektoré z okrajových podmienok, ktoré sa často používajú pri riešení rovnice (5.9), teraz uvedieme:
 
 
 
 

Obr.5.3 Rozhranie prostredí

a) Vo vyšetrovanom prostredí musí byť hustota toku neutrónov konečná a nezáporná. Táto podmienka je samozrejmá, lebo hustota toku neutrónov nemôže byť ani nekonečná ani záporná. Môže sa však rovnať nule.

b) Na rozhraní dvoch prostredí s rôznymi difúznymi vlastnosťami sú hustoty toku neutrónov v smere kolmom na rozhranie rovnaké a rovnaké sú aj hustoty prúdov neutrónov.Predstavme si rozhranie dvoch prostredí na každej strane rozhrania v nekonečne malej vzdialenosti od neho umiestnime rovnakú plôšku obr.5.3.

Všetky neutróny prechádzajúce plôškou A v kladnom smere osi x musia prejť i plôškou B na druhej strane rozhrania, teda platí :

                                                                                                      (5.13)

                                                                                                      (5.14)

                                                          (5.15 )                                                                     (5.16)

kde, , ,  sú hustoty tokov neutrónov a ich derivácie podľa dx v mieste rozhraní, , , sú difúzne koeficienty oboch prostredí.

Sčítaním rovníc (5.15) a (5.16) dostaneme :

                                                                                                     (5.17)

                                                                          (5.18)

                                                                                                     (5.19)

c) V blízkosti rozhrania aktívnej zóny reaktora s vákuom sa mení hustota toku neutrónov tak, že jeho lineárna extrapolácia v určitej vzdialenosti za týmto rozhraním klesne na nulu. Vzdialenosť, na ktorej hustota toku neutrónov klesne po lineárnej extrapolácii na nulu sa nazýva extrapolovanou vzdialenosťou d.
 
 

Obr.5.4 Rozhranie difúzneho prostredia s vákuom

Na obr.5.4 je znázornené rozhranie aktívnej zóny s vákuom. Preto, že neutróny, ktoré unikli z aktívnej zóny do vákua sa späť nevracajú, lebo vo vákuu sa nemajú neutróny na čom rozptyľovať, platí :

                                                                           (5.20)

kde index "o" označuje miesto rozhrania. Hustota toku neutrónov na rozhraní  je kladná, preto podľa (5.20) musí byť smernica krivky na rozhraní  záporná. Ak extrapolujeme rozloženie hustoty toku neutrónov vo vákuu priamkou so smernicou  hustoty toku neutrónov na rozhraní, klesne hustota prúdu neutrónov vo vákuu na nulu vo vzdialenosti d, pričom platí :

                                                                              (5.21)
 

Potom                                                                                                                                   (5.22)

Na základe lineárnej extrapolácie musí hustota toku neutrónov vo vákuu klesnúť vo vzdialenosti  od rovinného rozhrania aktívnej zóny a vákua na nulu. Ako sme už konštatovali, difúzne priblíženie, o ktoré sa opiera (5.22), neplatí v oblasti, ktorá je vzdialená od rozhrania dvoch prostredí menej ako 2 až 3 stredné voľné dráhy transportu  . Môžeme teda očakávať, že uvedená hodnota d nebude presná. Podrobnejším rozborom založeným na riešení transportnej rovnice môžeme ukázať, že dĺžka lineárnej extrapolácie je pre prostredie s malou absorbciou, obmedzené rovinným rozhraním, sa rovná :

                                                                                           (5.23)

4. Podmienka symetrie. Ak je geometrické usporiadanie prostredia v ktorom vyšetrujeme rozloženie neutrónov symetrické, potom podľa tej istej osi respektíve bodu či roviny symetrie je symetrické aj rozloženie hustoty toku neutrónov t.j. na osi symetrie, kde r = 0 platí                                                                                                                                   (5.24)
5. Poslednú integračnú konštantu určíme z okamžitej hodnoty výkonu v aktívnej zóne reaktora. Pre výkon reaktora platí                                                                                                                     (5.25)

kde  - je makroskopický účinný prierez štiepenia

5.6 Kritická rovnica

Diferenciálnu rovnicu difúzie :

                                                                           (5.26)

                                                                                                    (5.27)

kde  - konštanta charakterizujúca geometrický tvar a rozmery prostredia

a t - Fermiho vek neutrónov, ktorý je charakteristikou spomalovania neutrónov.

Diferanciálnu rovnicu difúzie v stacionárnom stave môžeme teraz napísať nasledovne :

                                                    (5.28)

                                                          (5.29)

                                                            (5.30)

V poslednom výraze označíme ako  nasledovný výraz :

                                                                                (5.31)

Toto sme boli oprávnený urobiť z toho dôvodu, že reaktor je v kritickom stave, pri ktorom je únik neutrónov z prostredia a prebytok produkcie neutrónov v rovnováhe. Podieľ  sa rovná prevrátenej hodnote kvadrátu difúznej dĺžky L.

Po úprave (5.30) môžeme písať :

                                                                                               (5.32)

Ak poznáme zloženie aktívnej zóny reaktora, t.j. poznáme všetky fyzikálne veličiny charakterizujúce aktívnu zónu, ako sú , t, L. Z kritickej rovnice môžeme určiť neznámu konštantu . Pretože takto určená konštanta  závisí len od materiálových vlastností aktívnej zóny, nazývame ju materiálovou konštantou, a označujeme ju . Materiálová konštanta , ktorá bola v predošlom určená zlúčením dvoch členov v rovnici (5.30) charakterizuje prebytok produkcie neutrónov v jednotke objemu za jednotku času. Pravá strana rovnice (5.32) predstavuje efektívny multiplikačný koeficient, ktorý sa v prípade kritického stavu rovná jednej.

Teda :

                                                                                       (5.33)

Difúznu rovnicu budeme riešiť za predpokladu, že sústava sa nachádza v stacionárnom stave, teda .

Ak budeme hľadať rozloženie hustoty toku neutrónov v prostredí, kde sa nenachádzajú zdroje neutrónov, napr. pre bodový, priamkový, alebo plošný zdroj - všade mimo zdroja je S = 0.

Potom rovnica difúzie bude mať tvar :

                                                                                                 (5.34)
 

(5.35)                                                                                                (5.36)

                                                                                                                         (5.37)
 

Zvolíme si súradný systém, pri ktorom sa bude stred nachádzať v mieste bodového zdroja, rozloženie neutrónov v takomto súradnom systéme bude guľovo symetrické. Preto si vyjadríme Laplaceov operátor v sférických súradniciach :

Pre prípad guľovej symetrie nedochádza k zmene hustoty toku neutrónov so zmenou  a  preto je  (5.39)

                                                        (5.40)
 

                                             (5.41)
 

Zavedieme si novú premennú , potom platí

                                      (5.42)                                                           (5.43)
 

                                         (5.44)

kde . Po dosadení novej premennej má rovnica (5.44) tvar

                                                          (5.45)
 

                                                  (5.46)

Charakteristická rovnica má tvar                                                                                                (5.47)

Korene rovnice sú                                                                                                                        (5.48)

Riešenie rovnice (5.45) má tvar                                                                                           (5.49)

Po dosadení do rovnice (5.49) novej premennej a úprave obdržíme vyjadrenie  v okolí bodového zdroja neutrónov.

                                                    (5.50)
 

1) Hustota toku neutrónov vo vyšetrovanom prostredí, pre musí byť konečná a nezáporná.

2) Celkový počet neutrónov, prechádzajúci povrchom gule, ktorej polomer sa blíži k nule, sa musí rovnať výdatnosti zdroja.

Ak hustota prúdu neutrónov je I potom :

                                                           (5.51)
 

Podľa prvej okrajovej podmienky je  konečné aj pri , z toho vyplýva, že C = 0.

                                                                 (5.52)
 

                                                                                   (5.53)

Po dosadení posledného vzťahu v (5.53) do (5.51) obdržíme

                                          (5.54)

                                                                         (5.55)

                                                                                     (5.56)

                                                                             (5.57)
 

Z vypočítaného vyplýva, že pre pevné D a  je hustota toku neutrónov závislá jedine od vzdialenosti r od bodového zdroja neutrónov. Ak by sme mali viac bodových zdrojov, potom v danom bode by hustota toku neutrónov bola daná superpozíciou hustôt tokov neutrónov od jednotlivých zdrojov v danom mieste.

5.8 Difúzna dĺžka a jej význam.

Pre tepelné neutróny, hľadáme strednú hodnotu vzdialenosti, alebo stredný štvorec vzdialenosti na, ktorej bude tepelný neutrón absorbovaný. Ak poznáme rozloženie hustoty toku neutrónov v okolí bodového zdroja potom, vieme určiť aj pravdepodobnosť s akou bude neutrón pohltený na dráhe dr vo vzdialenosti r od zdroja. Táto pravdepodobnosť bude úmerná objemu V, hustote toku neutrónov a makroskopickému účinnému prierezu absorpcie .
 
 
 

Obr.5.6 Dráha difúzneho pohybu neutrónov

- je hľadaná pravdepodobnosť. Potom pre strednú hodnotu štvorca vzdialenosti platí vzťah :

                                                        (5.58)

Tabuľkový integrál v (5.58) má riešenie :

                                                        (5.59)

                                                          (5.60)

                                                                   (5.61)

Kvadrát difúznej dĺžky vyjadrený pomocou  má potom tvar

                                                                 (5.62)

(5.63)

Integračná konštanta A sa určí z podmienky pre výdatnosť zdroja.

Ak vo výraze (5.63) nahradíme  budeme mať

                                                            (5.64)

Difúzny koeficient vyjadríme vzťahom

                                                          (5.65)

kde - je celkový makroskopický účinný prierez zahrňujúci absorpciu a rozptyl neutrónov v prostredí, - je stredný cosinus uhlu rozptylu v laboratórnej sústave, čo reprezentuje mieru guľovej symetrie rozptylu neutrónov. Kvadrát difúznej dĺžky je rovný

                                                                    (5.66)

                                                          (5.67)

                                                          (5.68)                                                (5.69)

pre  je rozptyl neutrónov guľovo symetrický i v laboratórnej sústave.

Potom .                                                                                                                                 (5.70)
 

5.9 Difúzny koeficient odrazu - Albedo.

Neutróny z prostredia A prechádzajú do prostredia B, kde niet zdrojov neutrónov, avšak časť neutrónov rozptýlených v B sa vracia späť do A.

Na základe elementárnej teórie difúzie môžeme určiť koeficient odrazu (albedo) prostredia B, ako veličinu, ktorá závisí len od vlastností tohoto prostredia.

Albedo “” prostredia B určíme ako pomer :
 
 

Obr.5.7 Albedo na rozhraní reflektora a prostredia zo zdrojmi.

                                                 (5.71)

Ak ,, potom Albedo pre rovinné rozhranie prostredí má tvar :

                                                  (5.72)

Kde hodnoty funkcií ,  - sú zo strany B na rozhraní AB.

5.10 Model spojitého spomaľovania

Neutrón sa rozptylovými zrážkami s jadrami moderátora postupne spomaľuje až dosiahne tepelnú rovnováhu s okolitými jadrami. Energetické rozloženie spomaľujúcich sa neutrónov je dané vzťahom

                                         (5.73)

- stredný logaritmický dekrement straty energie na jednu rozptylovú zrážku

- makroskopický účinný prierez rozptylu.

                                                                 (5.74)

Zo vzťahu 5.73 je zrejmé, že hustota toku neutrónov je proporcionálna hustote spomaľovania. Je rovnako dôležité poznať aj priestorové rozloženie hustoty toku neutrónov a hustoty spomaľovania. Ak zadaná hodnota energie pod ktorú sa neutróny spomaľujú je horná hranica tepelnej oblasti, potom hustota spomaľovania sa rovná množstvu tepelných neutrónov vznikajúcich v jednotke objemu v každom mieste štiepneho prostredia.

Priestorové rozloženie neutrónov, ktoré vzniká následkom difúzie pri spomaľovaní určuje v tepelnom reaktore pravdepodobnosť úniku neutrónov v procese spomaľovania. Pre ďalšie úvahy použijeme jednoduchý model.
 
 

Obr. 5.8 Aproximacia spojitým spomalením.

Ak je  malé môžeme nespojitú zmenu energie neutrónov nahradiť spojitou.

Uvažujme neutrón s počiatočnou energiou E₀ a rýchlosťou v, ktorý difundoval po dobu t od okamihu, keď vznikol s energiou E₀. V priebehu dt prejde vzdialenosť v.dt a prekoná  rozptylových zrážok. Po týchto zrážkach klesne lnE o - násobok počtu rozptylových zrážok

                                                    (5.75)

                                          (5.76)

E - kinetická energia

Po diferencovaní ľavej strany vo vzťahu 5.75 dosadení 5.76 a úpravou obdržíme

                                               (5.77)

                                          (5.78)

                                         (5.79)

Doba difúzie tepelných neutrónov je rovná .
 
 

Pre neabsorbujúce prostredie, kde niet zdrojov neutrónov má difúzna rovnica tvar :

                              (5.80)

                                               (5.81)

                                                   (5.82)

                                           (5.83)

Do 5.83 dosadíme zo vzťahu 5.73 na miesto  a difúznu rovnicu zapíšeme v tvare, kde už vystupuje hustota spomaľovania q(E,r)

                               (5.84)

                    (5.85)

                                          (5.86)

                                     (5.87)

                                           (5.88)

                                            (5.89)
 

                                                  (5.90)

                                            (5.91)

                                                 (5.92)

- sa nazýva Fermiho vek neutrónov preto, lebo zavedením novej premennej  Fermi upravil rovnicu popisujúcu rozloženie hustoty spomaľovania na tvar diferenciálnej rovnice pre vedenie tepla, ktorej riešenia boli už známe.