6. Homogénny reaktor

6.1 Homogénny reaktor bez reflektora

Budeme uvažovať reaktor, ktorého aktívna zóna sa skladá z homogénnej zmesi Uránu, moderátora a konštrukčných materiálov. Aktívna zóna hraničí s vákuom. Predpokladáme, že neutróny v AZ sú monoenergetické. Pre takúto sústavu chceme stanoviť rozmery, kedy sústava bude kritická t.j. k_eff_{= 1.}

Keďže, skúmame sústavu homogénnu, kde neutróny sú monoenergetické ( toto riešenie budeme nazývať jednoskupinové ), môžeme použiť difúznu rovnicu, ktorá vyjadruje bilanciu neutrónov v 1 cm³^{za sekundu.}

(6.1) Keďže hľadáme kritické rozmery, kedy bude sústava v kritickom stave, teda pravá strana rovnice sa rovná nule.

(6.2) S - predstavuje zdroj tepelných neutrónov. Tento je rovný súčinu hustoty spomaľovania a pravdepodobnosti úniku rezonančného záchytu.

(6.3) Hustota spomaľovania pre energiu neutrónov vznikajúcich pri štiepení, kde

= 0 bude daná q (r,0,t) a bude rovná

, kde S₁(r, t) je intenzita vonkjších zdrojov, to obecne, v našom prípade položíme S₁_{(r, t) = 0, potom :}

(6.4) To je jedna z okrajových podmienok pre riešenie rovnice stárnutia.

(6.5) Navrhneme tvar riešenia vo forme separácie premenných.

(6.6) Po dosadení do diferenciálnej rovnice stárnutia máme.

(6.7) Po úprave

(6.8) Keďže, ľavá strana rovnice 6.8 závisí iba od r a pravá iba od

musí sa ľavá i pravá strana rovnať jednej a tej istej konštante.

(6.9)

(6.10) Riešenie rovnice 6.10 dostaneme v tvare

(6.11) konštanta B² je kladné číslo, v opačnom prípade by nebola splnená prirodzená podmienka, že s rastom

klesá hustota spomaľovania neutrónov.

Teraz pre hustotu spomaľovania môžeme napísať výraz :

(6.12) Do 6.12 dosadíme vzťah 6.4

(6.13) Teda pre zdroje neutrónov určené pomocou Fermiho rovnice stárnutia môžeme zapísať

(6.14) Keďže hladáme kritický stav reaktora, bude riešenie nezávislé na čase t, potom i zdroj neutrónov bude vyjadrený

(6.15) Difúznu rovnicu zapíšeme v tvare :

(6.16) Po úprave zapíšeme

(6.17) Rovnicu 6.17 podelíme D

(6.18) Veličina, ktorá vystupuje v druhom člene rovnice 6.18 pri

, závisí od materiálových vlastností štiepneho prostredia nakoľko

a D reprezentujú množivé, spomaľovacie, absorpčné a difúzne vlastnosti prostredia. Pre kritický reaktor túto veličinu označíme

(6.19) Po dosadení posledného vzťahu do rovnice 6.18 obdržíme vlnovú rovnicu

(6.20) Vzťah 6.19 ďalej upravíme

(6.21)

(6.22)

(6.23)

Vzhľadom na B sa rovnica 6.23 nazýva kritickou rovnicou. Za určitých geometrických podmienok kritická rovnica dáva možnosť určiť pomer paliva, moderátora a konštrukčných materiálov, tak aby vznikla samo - množiaca sústava - kritická sústava.

Konštantu B² nazývame materiálovým parametrom preto, lebo je v tomto vzorci určovaná materiálovými parametrami , L², .

Vzhľadom na je rovnica transcendentná.

Riešme teraz vlnovú rovnicu v určitých geometrických podmienkach.

6.1.1 Aktívna zóna v tvare nekonečnej dosky

Predstavme si AZ v tvare nekonečnej dosky o hrúbke x₀a urobme riešenie spomenutej rovnice pre túto geometriu.

Obr.6.1 Reaktor tvorený nekonečnou doskou o hrúbke H

Rovnica 6.20 má teraz tvar

(6.24) Obecné riešenie vlnovej rovnice je

Okrajové podmienky :

Hustota toku neutrónov je nezáporná a jej priestorové rozloženie je symetrické voči rovine symetrie, kde platí

(6.25) 2) Hustota toku neutrónov na extrapolovanej vzdialenosti vo vákuu je rovná nule t.j.

(6.26) ad 1)

(6.27)

Ţ Aby bola podmienka 1) splnená je C = 0.

(6.28)

ad 2) (6.29)

Riešenia 6.29 sa nazývajú vlastné riešenia a najmenšie z nich sa nazýva fundamentálnym riešením. Funkcia v ktorej argumente je vlastná hodnota sa nazýva vlastná funkcia. Berieme prvú, fundamentálnu hodnotu a určíme (6.30)

Potom naše riešenie 6.24 má tvar :

(6.31) Integračnú konštantu A určíme z výkonu reaktora.

Uvedené riešenie je dané iba prvou hodnotou vlastnej funkcie, a to platí iba pre sústavu, ktorá je kritická. Ak sústava nie je kritická potom, riešenie je dané sumou jednotlivých vlastných funkcií.

(6.32) Pre sústavu kritickú, alebo blízku ku kritickému stavu sa vlastné funkcie s indexom vyšším ako i = 1 utlmia a riešenie je určené vlastnou funkciou s fundamentálnym riešením v argumente 6.31.

Konštanta B² je určená geometrickým tvarom a veľkosťou aktívnej zóny. Preto, takto určené B² nazývame geometrickým parametrom a označujeme ho .

Geometrický parameter je kladné číslo a preto, že je daný tvarom a veľkosťou AZ udáva únik neutrónov.

Pre kritický reaktor musí teda platiť rovnosť materiálového a geometrického parametra.

(6.33) Ak

potom je sústava nadkritická.

> potom je sústava podkritická.

6.2 Geometrický parameter.

Ako bolo uvedené, geometrický parameter je najmenšou vlastnou hodnotou riešenia vlnovej rovnice 6.20, pre sústavu určitej veľkosti a tvaru, ktoré vyhovuje podmienke, že hustota toku neutrónov na extrapolovanej vzdialenosti vo vákuu klesne na nulu.

Určíme geometrický parameter pre reaktory rôzneho tvaru.

6.2.1 Reaktor v tvare kvádra.

Obr.6.2 Reaktor v tvare kvádra

Pravouhlý kváder o stranách a, b, c, kde sú už zahrnuté aj extrapolované vzdialenosti

d = 0,7104 . V tomto prípade má rovnica 6.20 nasledovný tvar :

(6.34) Riešenie hľadáme vo forme separácie premenných.

(6.35) Po úprave (6.34) obdržíme

(6.36) Každý zo sčítancov na ľavej strane je funkciou iba jednej premennej. Môžeme napísať nasledovné :

(6.37) (6.38) (6.39)

(6.40) (6.41) (6.42)

(6.43) (6.44) (6.45)

Okrajové podmienky :

1) Podmienka symetrie (6.46)

2) Musí platiť, že bude rovné nule, ak bude splnená aspoň jedna z uvedených podmienok.

(6.47)

Na základe

(6.48) bude geometrický parameter

(6.49) Riešenie diferenciálnej rovnice 6.34 potom zapíšeme ako :

(6.50) Ak je známe

potom pre kritický reaktor môžeme určiť rozmery takéhoto reaktora. Pretože,

vyjadruje únik neutrónov budeme sa snažiť, aby i v tomto prípade bol únik neutrónov vo všetkých smeroch rovnaký a čo najmenší. Ak

, potom má reaktor v tvare pravouhlého kvádra, najmenší kritický objem. Teda ušetrilo sa jadrové palivo. Potom geometrický parameter bude rovný

(6.51)

Integračnú konštantu A určíme z výkonu reaktora, pretože v kritickom reaktore môže byť výkon ľubovoľne veľký, musí však byť konečný.

6.2.2 Reaktor guľového tvaru.

Obr. 6.3 Reaktor v tvare gule

V polomere guľového reaktora R je započítaná aj extrapolovaná vzdialenosť d.

Riešenie urobíme vo sférických súradniciach. Pretože prostredie je homogénne a izotropné, zmena podľa uhlov a je nulová.

Vlnová rovnica 6.20 má tvar

/ .r (6.52)

(6.53)

Na riešenie diferenciálnej rovnice použijeme substitúciu

(6.54) Rovnica 6.53 potom bude vyjadrená

(6.55)

(6.56) Obecné riešenie 6.52 je potom

(6.57) Okrajové podmienky

1. Hustota toku neutrónov je konečná a nezáporná, z tejto vyplýva, že C = 0, aby bol konečný aj pre r = 0.

(6.58) 2. Ak r = R = R₀ + d, bude

(6.59) teda

(6.60)

kde n je nula, alebo celé číslo

Kritickému stavu reaktora vyhovuje fundamentálne riešenie vlastnej funkcie t.j.

(6.61)

(6.62) Potom riešenie diferenciálnej rovnice 6.52 má tvar

(6.63) Integračnú konštantu A určíme ako v predošlom prípade.

6.2.3 Reaktor valcového tvaru.

Obr. 6.4 Reaktor v tvare valca konečnej výšky

Rozmery valcového reaktora sú : výška H a polomer R - extrapolovaná hranica je v týchto rozmeroch započítaná, t.j.

(6.64)

Riešenie diferenciálnej rovnice vykonáme vo valcových súradniciach. Opäť uvažujeme AZ izotropnú, t.j.

Vlnová rovnica 6.20 má vo valcovej geometrii nasledovné vyjadrenie

(6.65) Okrajové podmienky stanovujú, aby

bola konečná, nezáporná a na extrapolovanej hranici r = R alebo

klesola na nulu.

Na riešenie 6.65 použijeme metódu separácie premenných

(6.66) Po dosadení 6.66 do 6.65 a úprave máme

(6.67) Na ľavej strane 6.67 je prvý člen závislý len od premennej r a druhý člen od z, môžeme každý z týchto členov položiť rovný konštante.

(6.68)

(6.69)

(6.70) Riešme prvú časť rovnice 6.67. V ďalšom urobíme riešenie diferenciálnej rovnice 6.68.

(6.71)

(6.72)

Zavedieme substitúciu

(6.73)

(6.74)

(6.75)

(6.76)

Po substitúcii má 6.72 tvar

(6.77) Besselova rovnica n-tého rádu má tvar

(6.78) Teda rovnica 6.77 je Besselovou rovnicou nultého rádu. Ak je

a teda i

kladnou veličinou, riešenie môžeme zapísať v tvare

(6.79) Kde J₀,Y₀ sú Besselove funkcie nultého rádu prvého a druhého druhu.

Ak je záporné číslo, potom má Besselova rovnica tvar.

(6.80) Riešenie 6.80 je potom rovné

(6.81) Kde I₀ a K₀ sú modifikované Besselove funkcie nultého rádu prvého a druhého druhu.

Obr. 6.5 Besselove funkcie nultého rádu

Z uvedeného vyplýva, že podmienka konečnosti hustoty toku neutrónov v sústave bude splnená ak

je kladné číslo a integračná konštanta C = 0.

Teda riešenie rovnice 6.68 je rovné

(6.82) Druhá okrajová podmienka hovorí o podmienkach na extrapolovanej hranici s vákuom ak r = R

(6.83)

(6.84)

;

(6.85)

Ďalej riešime druhý člen, separovanej diferenciálnej rovnice 6.67

(6.86) Podobne ako pre nekonečnú dosku je symetrická hustota toku neutrónov vzhľadom na rovinu prechádzajúcu stredom AZ. Riešenie tejto rovnice je rovné