7.1 Vlastnosti reflektora

Materiál reflektora tvorí látka, ktorá účinne rozptyluje neutróny. Časť takto rozptýlených neutrónov sa vracia späť do AZ, tým reflektor znižuje únik neutrónov z AZ. Pretože únik neutrónov sa zmenšil, pre dosiahnutie kritického stavu musíme použiť sústavu s menšími rozmermi. Takto sme ušetrili štiepny materiál a zvýšili jeho merný výkon. Okrem už uvedeného, hustota toku neutrónov v hraničnej oblasti stúpne v porovnaní s reaktorom holým. Pretože výkon reaktora je úmerný hustote toku neutrónov, bude i výkon v AZ rovnomernejší. Zmena hustoty toku neutrónov v reflektore bude vysvetlená neskoršie.

Podmienky pre materiál reflektora sú : veľký a veľmi malý .

Čím menšia je , tým väčšia je pravdepodobnosť, že neutrón rozptýlený v reflektore sa z hĺbky opäť vráti do AZ.

1) Ako bolo povedané pri zachovaní sa dosiahne stavu kritičnosti v podstatne menších rozmeroch AZ pre reaktor s reflektorom, ako pre reaktor holý.

2) Prítomnosť reflektora zvýši úroveň hustoty toku tepelných neutrónov v periferickej oblasti. Tým sa čiastočne vyrovná hustote toku neutrónov v AZ a zvýši sa stredná hodnota hustoty toku neutrónov pri nezmenenej , to znamená, že výkon reaktora tiež vzrástol.

3) V reaktore s reflektorom sú obvodové miesta AZ podstatne viac využité ako v prípade holého reaktora.

7.2 Požiadavky na reflektor

Čím má byť väčšia pravdepodobnosť, že neutrón po rozptyle ( izotropnom ) v reflektore sa vráti do AZ, tým musí byť menšie. Pretože pri izotropnom rozptyle je pravdepodobnosť rozptylu do určitého smeru priamoúmerná priestorovému uhlu. Teda čím je menšia, tým väčší je priestorový uhol pod ktorým rozptýlený neutrón vidí AZ. Keď je malá, bude malý aj koeficient difúzie D.

Ak je malá , potom pravdepodobnosť, že neutrón vracajúci sa do AZ, bude absorbovaný je menšia. (- pravdepodobnosť, že neutrón bude absorbovaný na úseku x, x + dx.)

Nakoľko prevažná časť neutrónov unikla z AZ počas spomaľovania, teda neutróny, ktoré unikajú sú nadtepelné, bolo by výhodné, keby sa do AZ vracali ako tepelné. Toto je možné, len ak reflektor bude mať veľkú moderačnú spôsobilosť , teda bude to dostatočne ľahký materiál a súčastne jeho bude malé.

Teoretický výpočet reaktora s reflektorom je zložitou úlohou. V reaktore bez reflektora je hustota spomaľovania v každom bode AZ úmerná hustote toku tepelných neutrónov. Rovnica difúzie je potom lineárna a homogénna, ktorú je možné pomerne jednoducho riešiť. Pretože reflektor má obecne iné množivé a moderačné vlastnosti ako AZ, preto sa energetické spektrum neutrónov, ktoré je u holého reaktora všade rovnaké podstatne mení v blízkosti rozhrania AZ s reflektorom. Tým sa zvyšuje obtiažnosť riešenia rovnice stárnutia ( Fermiho-Amaldiho rovnice ). Riešenie tejto rovnice predstavuje zdroje tepelných neutrónov v difúznej rovnici. Jedným zo spôsobov ako zjednodušiť rozbor spomaľovania neutrónov v reaktore z viacerými oblasťami je metóda skupín, alebo grupová metóda. Pri tomto sa predpokladá, že energia neutrónov od E_{0 = 2 MeV} až do tepelnej E_Th = 0.0253 eV sa rozdelí na konečný počet menších intervalov energie, teda neutróny sa podľa energie rozdelia do skupín. Predpokladáme, že neutróny každej skupiny difundujú bez straty energie tak dlho, až vykonajú priemerný počet zrážok, ktorý je potrebný, aby ich energia klesla na energiu nasledujúcej nižšej skupiny. Predpokladáme, že spomaľujúci neutrón postupne prejde skokom cez všetky skupiny neutrónov od E₀ = 2 MeV až do E_{Th = 0.0253 eV.}

7.3 Skupinové konštanty

Pretože predpokladáme rozdelenie neutrónov do skupín podľa energie, je nutné pre každú skupinu charakterizovanú jednou energiou neutrónov nájsť príslušné makroskopické účinné prierezy a koeficienty difúzie pre AZ a reflektor.

Na zjednodušenie úvah budeme v ďalšom uvažovať, že celý interval energií rozdelíme do dvoch skupín :

1) skupina E = 2 MeV - 0.0253 eV

2) skupina - tepelné neutróny

Prvú skupinu nazývame, rýchlou skupinou. Pre túto oblasť nájdeme teraz výraz pre určenie makroskopického účinného prierezu rozptylu. Počet rozptylových zrážok neutrónov rýchlej skupiny v 1 cm^{3 za 1 sekundu sa rovná :}

                                                                                                 (7.1)

- hustota neutrónov v jednotkovom intervale energie v blízkom okolí energie E.

v - rýchlosť neutrónov v danom intervale energie

Úhrnná hustota toku neutrónov rýchlej skupiny

                                                                                                  (7.2)

                                                                                       (7.3)

za 1 sekundu je pre rýchlu skupinu rovný .

Počet zrážok potrebných na to, aby energia neutrónov klesla z E_{0 na je daný}

                                                                                            (7.4)

                                                                               (7.5)

kde je makroskopický účinný prierez “absorpcie” neutrónov pre rýchlu skupinu. Makroskopický účinný prierez “absorpcie” rýchlej skupiny je rovný

                                                                                (7.6)

                                                                                (7.7)

                                                                                      (7.8)

                                                                                     (7.9)

                                                                              (7.10)

D₁ bude konštantné, len ak je možné separovať ako súčin dvoch funkcií závislých každej len od E a len od r. Teda predpokladáme, že spektrum neutrónov sa podstatne nemení pri prechode od jedného bodu k druhému, t.j.

                                                                      (7.11)

                                                                               (7.12)

Ak je spektrum spomaľujúcich sa neutrónov možno vyjadriť, ako , potom

                                                                                                (7.13)

Toto zjednodušenie nepredpokladá existenciu rýchlych neutrónov teda pravdepodobnosť úniku rezonančného zachytenia p, koeficient rozmnoženia na rýchlych neutrónoch budú rovné jednej, teda .

Označme indexom ”a” všetky konštanty a hustotu toku neutrónov v AZ, a indexom ”r” konštanty a hustotu toku neutrónov v reflektore.

Potom môžeme zapísať rovnicu difúzie v oboch prostrediach v stacionárnom stave. Pre aktívnu zónu bude platiť

                                                                         (7.14)                                                              (7.15)

                                                                          (7.16)

- toto približne upresníme ak namiesto položíme  , kde 

kde - kvadrát difúznej dĺžky v aktívnej zóne

- Fermiho vek neutrónov pre aktívnu zónu

- kvadrát migračnej dĺžky v aktívnej zóne

Pre reflektor kde niet zdrojov neutrónov, bude platiť

                                                                                         (7.17)

                                                                                               (7.18)

(7.19)   (7.20)

Riešme teraz diferenciálne rovnice 7.16 a 7.18 pre AZ v tvare nekonečnej dosky, obklopenej reflektorom.

Obr. 7.2 Reaktor v tvare nekonečnej dosky s reflektorom

                                                      (7.21)

                                                                     (7.22)

Na extrapolovanej vzdialenosti vo vákuu je hustota neutrónov rovná nule, t.j.                               (7.23)

Potom

                                                  (7.24)

                                                              (7.25)

                                                             (7.26)

                                                      (7.27)                                                       (7.28)

Na rozhraní AZ a reflektora pri sa musia navzájom rovnať hustoty tokov neutrónov a hustoty prúdu neutrónov.

                                                     (7.29)

                                     (7.30)

                                                                (7.31)                                                                (7.32)

                                                            (7.33)                                              (7.34)

                                              (7.35)

Táto rovnica je podľa jednoskupinovej teórie kritickou rovnicou reaktora tvoreného nekonečnou doskou a reflektorom o hrúbke T. Rovnica je vzhľadom na transcendentnou rovnicou. Nakoľko veličiny ,, a môžeme určiť ak poznáme materiál z ktorého je sústava vytvorená a poznáme súčastne vzájomný pomer materiálov. Potom podľa kritickej rovnice môžeme vyjadriť hrúbku H pri známom T, alebo T pri známom H, tak aby sústava bola kritická.

alebo 

Pre hrúbku reflektora T je možné stanoviť, že s počiatočným zväčšovaním hrúbky T prudko rastie úspora získaná reflektorom, avšak pri väčších hodnotách T sa rast úspory zmenšuje až pri sa rast úspory zastaví. Pre T = 0 bude reaktor holý a teda určíme z nasledujúceho : teda to vtedy ak - čo je geometrický parameter pre holý reaktor.

7.5 Úspora získaná reflektorom

Úspora získaná reflektorom je daná výrazom :

                                                              (7.36)

Ukázali sme si, že potom pre úsporu získanú reflektorom platí:

                                                             (7.37)

alebo  (7.38)

Ak do kritickej rovnice 7.35 dosadíme vzťah 7.38 obdržíme

                                                  (7.39)

                                                           (7.40)

                                                                    (7.41)

                                                                  (7.42)

                                                                          (7.43)

                                                                                  (7.44)

                                                                         (7.45)

bude malé, potom 

- bude malé číslo a teda môžeme zapísať . Pre vzťah 7.44 môžeme zapísať

                                                                       (7.46)

;                                                                            (7.47)                                                                         (7.48)

Ak D_a = D_r , ptom .

Ak je difúzna dĺžka L_r podstatne väčšia ako T, potom pre

                                                                  (7.49)

a                                                                                  (7.50)

to je hraničná hodnota nezávislá od T.