Doposial sme všade uvažovali stacionárny stav reaktora, keď sa hustota neutrónov s časom nemenila. Teraz budeme skúmať stav reaktora, kedy sa hustota neutrónov s časom bude meniť. Táto zmena je následkom prudkej zmeny multiplikačného koeficientu, či už následkom vysunutia, zasunutia regulačnej ( havarijnej ) tyče do AZ, alebo vysunutím paliva a či oddialením reflektoru. Pre naše prvé úvahy budeme uvažovať, že v reaktore sú iba okamžité neutróny štiepenia. Doba života týchto, je daná dobou spomaľovania a dobou difúzie tepelných neutrónov. Pre tepelné reaktory je

t_dif >> t_spomal. V závislosti od absorpčných vlastností AZ sa t_dif = 10^-5-10^-3 sekundy.

8.1 Bodová kinetika na okamžitých neutrónoch

V ďalšom budeme predpokladať, holý homogénny, tepelný reaktor a budeme riešiť diferenciálnu rovnicu difúzie v jednoskupinovom priblížení za predpokladu, že k_eff sa iba veľmi málo líši od jednotky. Vtedy pri riešení diferenciálnej rovnice difúzie môžeme zanedbať vyššie harmonické s dostatočnou presnosťou.

Zapíšeme si teraz difúznu rovnicu v nestacionárnom stave

                                                                         (8.1)

                                                                                (8.2)

                                                                (8.3)                                                   (8.4)

Riešme diferenciálnu rovnicu 8.4 separáciou premenných

                                                                     (8.5)

                                                              (8.6)

                                                                      (8.7)

                                                         (8.8)

                                                                             (8.9)

                                                                                 (8.10)

                                                                                  (8.11)

kde , je stredná doba života jedného pokolenia neutrónov v sústave konečných rozmerov.

Zbytkový multiplikačný koeficient                                                                                                                            (8.12)

Reaktivita sústavy                                                                                                                                                    (8.13)

Čiže pre rovnicu 8.11 potom platí

                                                                       (8.14)

                                                                             (8.15)

                                                                              (8.16)

                                                                   (8.17)

Ak t = 0, potom označíme tento výraz ako , .

                                                                          (8.18)

                                                                               (8.19)

                                                                                     (8.20)

                                                                                (8.21)

To znamená, že čím je ” ” menšie bude perióda reaktora menšia a čím je väčšie, tým je T menšia.

Ak a = 0,001 s, potom .

To znamená, že v takejto sústave za 0,1 výkon vzrastie e-krát a za 1 sekundu hustota toku tepelných neutrónov vzrastie e¹⁰-krát čo je 2.10^{4 násobne.}

8.2 Bodová kinetika reaktora s oneskorenými neutrónmi

Z predchádzajúcich úvah vieme, že v prípade existencie len okamžitých neutrónov je perióda reaktora veľmi malá, to znamená, že zmena hustoty neutrónového toku je veľmi prudká. Riadiť takú sústavu by nebolo možné. Našťastie okrem okamžitých neutrónov vznikajú pri štiepení ťažkých jadier aj oneskorené neutróny. Ako už bolo povedané, týchto neutrónov, pri štiepení je z celkového počtu vznikajúcich neutrónov. Bolo pozorované šesť skupín týchto neutrónov a každá skupina je charakterizovaná - relatívnym množstvom neutrónov i-tej skupiny a t_i - strednou dobou života predchodcov neutrónov i-tej skupiny.

Platí  (8.22)

Doba života predchodcu je podstatne väčšia ako doba života okamžitého neutrónu

( uvažujeme len dobu difúzie ). Priemerná doba oneskorenia pre neutróny i-tej skupiny je daná súčinom . Celkovú priemernú dobu oneskorenia určíme ako súčet súčinou , teda je rovná                                                                                  (8.23)

Ak uvažujeme ako dobu života jedného pokolenia dobu difúzie, potom celkovú strrednú dobu života neutrónov môžeme zapísať :

                                                                                        (8.24)

kde je priemerná doba života okamžitých tepelných neutrónov v prostredí konečných rozmerov. Pre ²³⁵

                                                                                     (8.25)

Pretože = 10^-3, zanedbáme ju v porovnaní s , ktorú budeme považovať za strednú dobu života jedného pokolenia neutrónov.Nech , potom perióda reaktora bude . Takúto sústavu je možné riadiť veľmi dobre. Napíšeme si teraz diferenciálnu rovnicu difúzie v nestacionárnom stave

                                                                (8.26)

V predchádzajúcich úvahách sme počítali iba s okamžitými neutrónmi, vtedy zdroj neutrónov mal tvar , teraz je potrebné uvážiť aj oneskorené neutróny. Teda je potrebné nájsť nové vyjadrenia pre zdroj neutrónov.

                                                                     (8.27)

V reaktore vzniká - diel okamžitých neutrónov a - diel oneskorených neutrónov. Preto výraz pre zdroj okamžitých neutrónov bude mať tvar

                                                                  (8.28)

Zostáva nám určiť zdroj oneskorených neutrónov. Rýchlosť vzniku neutrónov jak okamžitých tak aj oneskorených je určená množstvom absorbovaných tepelných neutrónov v 1 cm³ za 1 sekundu, alebo rýchlosti vzniku rýchlych neutrónov . Rýchlosť vzniku predchodcov oneskorených neutrónov i-tej skupiny je rovná súčinu . Označme si koncentráciu predchodcov i-tej skupiny oneskorených neutrónov ako C_i(r,t), potom rýchlosť rozpadu predchodcov i-tej skupiny je rovná . Pre koncentráciu predchodcov môžeme napísať diferenciálnu rovnicu

                                                                   (8.29)

Rýchlosť rozpadu predchodcov i-tej skupiny oneskorených neutrónov je rovná rýchlosti vzniku oneskorených neutrónov i-tej skupiny ( okamžite po rozpade prekurzoru sú emitované oneskorené neutróny ), čiže rýchlosť vzniku oneskorených neutrónov je sumárne daná ; ak vynásobíme tento člen a pravdepodobnosťou úniku rezonančnému zachyteniu obdržíme

                                                               (8.30)

Pre jednoduchosť predpokladajme, že spektrum oneskorených neutrónov je rovnaké ako spektrum okamžitých neutrónov , hoci v skutočnosti je je menší ako .

S konečnou platnosťou máme člen vyjadrujúci zdroj neutrónov v tvare

                                           (8.31)

Zväčšením na hodnotu sme v skutočnosti zvýšili únik oneskorených neutrónov zo sústavy konečných rozmerov. Preto by v štiepnom prostedí poklesol počet oneskorených neutrónov, aby tomu tak nebolo musíme túto stratu vykompenzovať úmerným zväčšením podielu oneskorených neutrónov. V ďalšom preto budeme používať efektívny (zvýšený) podiel oneskorených neutrónov. Pre efektívny podiel oneskorených neutrónov platí

                                                                                   (8.32)

                                                         (8.33)

Po úprave

                                                                       (8.34)

Predpokladajme, že v čase t = 0 nastala náhla zmena k. Diferenciálnu rovnicu 8.34 budeme riešiť separáciou premenných.

                                                                       (8.35)

                                                              (8.36)

Premenné môžeme separovať, lebo nezávisí od r. Pre každé miesto v AZ a čas platí proporcionalita medzi . Predpokladáme, že k_eff sa skokom zmenilo o malú hodnotu, ak od zmeny uplynul krátky čas, potom priestorové rozloženie hustoty toku neutrónov bude podobné toku aký bol pred zmenou k_eff. Pre podobné priebehy platí, že sú popísané rovnakými diferenciálnymi rovnicami, preto platí

                                                                   (8.37)

Ak je malé, potom rozloženie neutrónov na počiatku prechodového procesu je približne rovné rozloženiu v stacionárnom stave. Potom .

Na základe toho, že sa po separácii premenných jedná o lineárne diferenciálne rovnice prvého rádu môžeme riešenie navrhnúť v tvare

                                                                          (8.38)

                                                                 (8.39)

                                                                           (8.40)

                                                                      (8.41)

Do vzťahu 8.41 dosadíme navrhnutý tvar riešenia 8.38

                                                      (8.42)

(8.43)  (8.44)

                                            (8.45)

                                          (8.45)

                                             (8.46)

                                       (8.47)

                                               (8.48)

                                                  (8.49)

                                           (8.50)

                                         (8.51)

                                                     (8.52)

Obdržali sme charakteristickú rovnicu, ktorá udáva závislosť parametra na jadrových vlastnostiach materiálov aktívnej zóny. Rovnica je algebraickou rovnicou m+1 stupňa vzhľadom na . Preto pre danú hodnotu reaktivity existuje m+1 hodnôt parametra .

Ak > 0, potom je kladný, ostatné sú záporné korene charakteristickej rovnice a sú približne rovné hodnotám .Teda v ľubovolnom bode reaktora môžeme písať pre hustotu toku neutrónov

                                                                     (8.53)

Konštanty A₀, A₁,.........., A_m sa určia z okrajových podmienok. Po uplynutí doby rádu budú všetky členy okrem prvého nulové, potom platí

                                                               (8.54)

                                                                (8.55)

má obrátený rozmer času, preto                                                                                                                   (8.56)

Potom                                                                                                                                                         (8.57)

Kde ustálená perióda reaktora je rovná                                                                                                         (8.58)

Prechodové periódy reaktora sú vyjadrené nasledovne

                                                                                       (5.59)

Vo vzťahu pre reaktivitu 8.49 nahradíme obrátenou hodnorou periódy

                                                      (8.60)

                                                                     (8.61)

Sústava má reaktivitu prevrátenej hodiny ak ustálená perióda reaktora je rovná 1 hodine.

                                                     (8.62)

Takto pomocou môžeme vyjadriť každú reaktivitu sústavy nasledovne

                                                     (8.63)

Teda reaktivitu môžeme určiť ako súčin a t.j. . V ďalšom sa budeme zapodievať dvoma medznými prípadmi, pre ktoré je možné odvodiť jednoduchý výraz pre ustálenú periódu reaktora, ktorá nastane po zániku prechodových členov.

8.3 Malá reaktivita.

Rozoberieme prípad, keď sú aj malé kladné hodnoty. Z obrázku 8.1 je zrejmé, že pri malom bude malé aj a rovnica 8.49 bude mať tvar

                                                                   (8.64)

Keďže je malé v porovnaní s zanedbáme ho v menovateli výrazu 8.64. Potom pre ustálenú časť prechodového procesu platí

                                                       (8.65)

Pretože rovnica 8.65 bude mať tvar

                                                              (8.66)

                                                              (8.67)

l je stredná doba života okamžitých neutrónov.

Ak uvažujeme len dobu difúzie tepelných neutrónov, potom sa táto nachádza v medziach

10^-3 - 10^-5 s. Pretože je malá, bude sa k_ef len veľmi málo líšiť od jednej. Výraz nadobudne takto svoju maximálnu hodnotu rovnú 10^-3 s. Vieme, že výraz vyjadruje celkovú priemernú dobu oneskorenia neutrónov a tá má pre hodnotu rovnú

0,0942 s. Preto, vo výraze pre T₀ zanedbáme prvý člen v hranatých zátvorkách a obdržíme výraz  (8.68)

Pri našich úvahách sme predpokladali, že je podstatne menšia ako ktorákoľvek rozpadová konštanta . Preto musí byť väčšia ako ktorákoľvek stredná doba života predchodcov oneskorených neutrónov. Maximálna hodnota t_i je rovná až 56,6 s, preto T₀ je väčšie i od tejto hodnoty. Pre určitú hodnotu reaktivity a daný palivový materiál je perióda ľubovolného tepelného reaktora stála a nezávisí od doby života okamžitých neutrónov. Pre malé platí .

8.4 Veľká reaktivita

Teraz uvážime druhý medzný prípad, keď reaktivita sústavy bude veľmi veľká kladná hodnota, potom každé bude menšie ako ( viď obrázok 8.1). Pre ustálenú časť takéhoto prechodového procesu platí

                                                                 (8.69)

Ak <<, vo vzťahu 8.69 môžeme zanedbať. Potom pre reaktivitu platí

                                                   (8.70)

                                                      (8.71)

                                                    (8.72)

Tento výraz má význam len ak > a > 0.

Ak je reaktivita väčšia ako , môžeme podiel oneskorených neutrónov zanedbať. Potom pre ustálenú periódu platí vzťah

                                                              (8.73)

To znamená, že ustálená perióda reaktora je určovaná dobou života okamžitých neutrónov. Stavu reaktora, keď ustálená perióda práve prestane závisieť od doby oneskorenia , hovoríme kritičnosť na okamžitých neutrónoch. Vtedy je .

Ak sú v sústave určujúce iba okamžité neutróny môžeme difúznu rovnicu 8.41 zapísať v tvare  (8.74)

Pre kritický stav na okamžitých neutrónoch bude pravá strana rovnice 8.74 rovná nule, pretože platí  (8.75)

                                             (8.76)

                                                       (8.77)

Z definície vyplýva, že pre kritičnosť na okamžitých neutrónoch je .

Ak je k_eff menšie ako , potom je perióda reaktora ovplyvnená oneskorenými neutrónmi, ale čím sa viac blíži k tejto hodnote, tým menej vplývajú oneskorené neutróny na ustálenú periódu prechodového procesu. Keď do sústavy vnesieme zápornú reaktivitu, potom platí, že všetky korene rovnice 8.49 sú záporné a má z nich najväčšiu hodnotu. Teda hustota toku neutrónov ako superpozícia 6+1 riešení bude s časom klesať, s počiatku prudko a po zániku všetkých členov s väčšími zápornými hodnotami je klesanie hustoty toku neutrónov určované iba .

Obr. 8.2 Závislosť od času

Vzhľadom na skutočnosť, že pri prestávajú prechodový proces v reaktore ovplyvňovať oneskorené neutróny bola zavedená jednotka reaktivity, ktorá túto skutočnosť odráža. Ak sa reaktivita štiepnej sústavy rovná efektívnemu podielu oneskorených neutrónov je reaktivita rovná jednému doláru. Takto môžeme reaktivitu vyjadriť, podobne ako v predošlom, v dolároch, či centoch nasledovne

                                                                                         (8.78)

                                                                                   (8.79)